ケリー基準を競馬に使う時の限界

最大化しているものを利益額と混同しない

Kellyの1956年の原論文は、資本が繰り返しの機会を通じてどのように成長するかを、対数を使った成長率で考えています。単に次の一回の期待利益額を最大にする問題とは異なります。資金を全て賭けて一度の外れで失う場合と、一定割合を残す場合では、その後の成長を考える条件が違います。

本稿では、単一の馬券が当たりか外れかの二つの結果を持ち、価格と的中確率を固定して考える簡略モデルから説明します。原論文の一般的な問題を、現代の全ての競馬の実購入へそのまま適用したものではありません。複数の結果、投票による価格変動、資金の制約を省いた部分を明示して読みます。

モデルが最適化する対象を確認することが必要です。計算式に最適という言葉があっても、今月必ず黒字、連敗でも損が小さい、生活に必要な支払いを守れるという意味ではありません。自分が守る支出上限は、この数式の外側で別に決める条件です。

単一馬券の簡略式を前提から導く

生活に必要な資金とは分けた、モデル上の資本に対して、購入する割合をfとします。元本込み倍率がO、的中確率がpという仮定です。当たると資本は1+f×(O−1)倍、外れると1−f倍になります。O−1は利益部分の倍率で、元本込みのOと区別します。単勝4倍なら利益部分は3倍です。

この二結果の対数の平均は、G=p×ln(1+f(O−1))+(1−p)×ln(1−f)です。lnは自然対数です。この筆者の簡略モデルをfで微分してゼロとなる点を求めると、f=(pO−1)/(O−1)になります。ここではO>1、購入だけを考え0≤f<1とし、式が負になる場合には負の購入をせず、候補割合を0として扱います。

この式は、確率を正確に知る手段ではありません。pは入力条件です。計算結果がきれいな割合になっても、入力したpの根拠は別に必要です。価格Oが結果まで固定されない場合や、同じ資金から複数の馬券を同時に買う場合は、この二結果の式の前提から離れます。

同じ期待払戻割合でも式の割合は一致しません。仮にp=60%・O=2ならpOは1.2で、fは20%です。p=30%・O=4もpOは1.2ですが、fは約6.67%です。当たりと外れの資金の動きが異なるため、期待払戻の倍率だけを使って購入割合を比較することはできません。これは二値モデル内の関係で、60%や30%を現実に正確に予測できると仮定した推奨ではありません。

表は左右にスクロールできます。

原論文の考え方を、筆者が単一の二結果モデルへ整理した記号です。

勝率が30%か26%かで割合は5倍違う

架空ケース1：価格4倍で勝率の仮定を変える

表は左右にスクロールできます。

全て架空の固定価格と確率です。資本や購入額の推奨ではなく、誤差の影響を確認する計算です。

30%と26%の違いは4ポイントですが、候補割合は約6.67%と約1.33%で5倍違います。24%なら購入しないという境界へ変わります。自分の勝率の見立てに数ポイントの誤差があり得るなら、計算された金額が精密でも、その金額をそのまま正しいと扱うことはできません。

仮に30%と見積もってf=1/15を使い、実際の条件を24%と置き直すと、4倍での対数成長Gは約マイナス0.00868です。これは実在手法の収益ではなく、同じ式の入力だけを変えた比較です。推定を楽観的に置いたために、目的としていた成長の平均がマイナスへ反転する場合を示します。

小さな確率誤差が金額の大きな差になることを踏まえ、まずpをどう作ったかを確認します。過去の観察勝率、今回の予測、計算用に仮置きした数字を分け、独自の評価点をそのまま百分率へ変換しないでください。

半分の割合にしても入力の誤りは消えない

計算割合の半分を使う方法を、ここでは便宜上ハーフケリーと呼びます。例えば先ほどの1/15を半分の1/30にすれば、同じ資本に対して購入額は半分になります。これは金額を縮める操作であり、予測した勝率が正しくなったり、価格が固定されたりする操作ではありません。

同じ架空例で、真の条件をp=24%、O=4と置き、f=1/30を式へ入れると、Gは約マイナス0.00289です。1/15の時よりマイナスの大きさは小さくなっていますが、符号はマイナスのままです。半分にすれば常に安全、期待値不足を解消できるという読み方はできません。

また、単に半分という比率が自分の損失許容額へ合うかも別です。モデル上の資本を大きく置けば、半分でも生活に影響する金額になる可能性があります。割合の名前で安心せず、実際の一回の支出と、連続して外れた時の残額を金額で確認します。

確率を根拠を持って置けない時は、計算を埋めるために都合のよい値を選ぶ必要はありません。金額を小さくして買うことだけでなく、購入しない、記録だけ続けるという選択もあります。割合を調整する前に、見立てと価格の条件が足りているかを点検してください。

途中価格4倍の式を最終3倍へそのまま使わない

架空ケース2：確率30%のまま価格だけが下がる

p=30%、O=4では、簡略式の割合は約6.67%です。価格を3倍へ変えると、pO=0.9となり、式の値は(0.9−1)/(3−1)=マイナス5%です。購入だけのモデルでは0%へ切り替わります。候補の能力評価を変えなくても、価格が動けば採用の結論が変わります。

既に4倍の表示を使ってf=1/15で計画していた場合、価格3倍の条件でその割合のGを計算すると、約マイナス0.01075です。この値も固定した架空の条件での比較です。途中価格が固定契約のように使えるわけではない競馬では、価格の取得時点と実際の精算条件を分ける必要があります。

自分の購入が価格へ影響するほど投票規模が小さい場合にも、購入前のOを金額に関係なく使い続ける前提は崩れます。他の参加者の投票、表示の端数処理、同着や返還などの条件もあります。単一の数式を精密に計算するだけで、これらの不確かさがなくなるとは考えないようにします。

価格の時点と購入後の条件を確認することが、式を使う前の判断です。結果後に最終価格で理論割合を作り直し、以前からその金額で買えたように成績を計算すると、実行できた方法の検証ではなくなります。実購入額は明細に基づき残します。

複数の買い目へ単一の式を独立に当てない

同じレースの単勝AとBは、同着のない通常例なら同時には勝ちません。ワイドや複勝では複数が同時的中する場合もあります。いずれも、同じ資本から買う複数の券の結果がどう組み合わさるかを考える必要があります。各券を単独で買う式の割合を計算し、無条件に足すだけでは、元のモデルと違う資金の動きになります。

架空の例でAとBをそれぞれ30%、単勝4倍と置き、残りの勝者を合計40%とします。Aだけに1/15を使えば、A的中時の資本は1.2倍です。しかしAにもBにも1/15を同時に使うと、Aが勝った時にはBの分が外れるため、資本は1−2/15+4/15=17/15、約1.1333倍です。単独の1.2倍を二つ重ねた結果にはなりません。

残りの馬が勝てば、両方が外れて資本は13/15、約0.8667倍です。この組合せが適切かを判断するには、この共通の結果ごとの資金変化を使って考え直す必要があります。本稿は複数買いの最適配分を計算したものではなく、単独式の前提が変わる点を示しています。

複勝やワイドへ移す場合は、価格の範囲と同時的中も関係します。単勝の勝率をそのまま複勝の的中確率として使わないことも必要です。券種を変えれば計算の入力対象が変わるため、元の割合を維持すればよいという説明はできません。

理論割合でも連敗と購入単位の制約は残る

割合1/15を常に残資本へ掛ける架空モデルで、3万円から10回連続して外れると、残額は30,000×(14/15)の10乗で約1万5,048円です。5回連続なら約2万1,247円です。理論式で得た割合でも、途中の資金減少が小さいとは限りません。この計算は連敗の発生確率を示すものではありません。

残資本へ毎回同じ割合を掛ける計算は、金額を自由な小数へ分けられる仮定を含みます。実際にはJRAの購入は100円単位です。モデル資本3,000円、割合約1.33%なら計算額は40円ですが、そのまま購入できません。100円へ切り上げると資本の約3.33%で、理論割合の2.5倍になります。

購入単位に合わせた時点で配分が変わるため、元の最適性をそのまま主張しないようにします。40円の案を100円に増やしてでも実行する必要はなく、見送る選択があります。最小単位を満たすために資本そのものを大きく置くことも、生活の支出上限とは別の問題です。

モデル上の資本へ生活費や支払予定額を含めず、失っても必要な支払いへ影響しない範囲を先に考えます。月・日・レースの上限が別にあるなら、それらを超える割合は採用しません。数式の出力は支出の許可証ではなく、前提に依存する比較用の値です。

ケリー基準を読む時の確認表

1. 確率の出所を確認し、観察割合や指数の点を根拠なく個別の勝率へ変換しない。
2. 価格の取得時点と固定の仮定を確認し、最終払戻とのずれを残す。
3. 単独購入か複数同時購入かを区別し、同じ結果で資金がどう動くかを書く。
4. 割合を実金額へ変換し、購入単位・連敗時の残額・事前上限を確認する。
5. 仮定が足りない場合は割合を作らず、見送りを含めて判断する。

競馬のケリー基準と誤差の問題は、式を知るだけでは解決しません。何を最大化し、どの確率と価格を入力し、どの制約を省いたかを一緒に読む必要があります。計算の見た目の精密さを予測の正しさへ置き換えず、使わない判断も含めて、自分の支出条件を優先してください。