勝率の信頼区間を少数データで読む

観測した勝率と推定したい確率を分ける

過去の0勝は事実、将来も勝てないは別の主張

十回観測して一度も勝たなかった場合、観測した勝率は0÷10で0％です。これは記録の説明です。一方、同じ条件で試行を続けたときの勝つ確率が正確にゼロかを判断するには、観測の量と前提を考える必要があります。

勝つ確率が小さくても正であれば、短い期間に一度も勝たないことは起こり得ます。0勝を0％の記録として表示することと、永久に勝てないと断定することを混ぜないでください。区間は、この推定の不確実性を表すための一つの方法です。

同じことは全勝にも当てはまります。一戦一勝や十戦十勝という記録は残せますが、次も必ず勝つことまでは示しません。見た結果の割合をそのまま未知の確率と確定せず、どの範囲の値と整合的かを考えます。

二項モデルの前提は競馬で自動的には成立しない

ここで紹介する区間は、成否が独立で、各試行に共通する一定の確率があるという二項モデルを想定します。一着かそれ以外かという定義を固定し、勝った件数xと観測数nを数えます。

競馬では、相手の強さ、距離、馬場、頭数や本人の状態が競走ごとに変わります。同じ騎手が乗ったという共通点だけでは、各回の勝つ確率が一定だったと確認できません。同じレースの複数馬を選べば、互いの勝敗にも関係があります。

したがって計算した区間は、モデルの下で集計の不確実性を見る参考です。現実の全ての違いを補正した個人能力の区間と説明しないようにします。対象条件をそろえても残る差を記載し、単純な式が何を仮定しているかを示してください。

単純な正規近似が端で狭過ぎることがある

観測割合をp̂として、p̂±1.96×√{p̂(1−p̂)÷n}という単純な近似を使うと、0勝ではp̂が0のため幅も0になります。全勝でも同様です。少数の0勝から真の確率が確実に0と判断できるわけではないので、この挙動には注意が必要です。

また、割合の区間なのに下端が負になったり、上端が百％を超えたりする場合があります。端点をゼロや百で切れば全て解決するという問題でもありません。少ない標本や端に近い割合で、手法に期待される性質を満たせるかを確認する必要があります。

NISTはWilson法の説明と、少数の場合の二項分布に基づく厳密な方法を紹介しています。この記事では両側九十五％のWilson法を例にし、別の方法なら端点が変わり得ることを残します。手法を選ぶ理由を省略しないようにしましょう。

Wilson区間の計算を三つの値に分ける

まずp̂＝x÷n、z＝1.96とし、D＝1＋z²÷nを計算します。区間の中心cは{p̂＋z²÷(2n)}÷Dです。幅の半分hは、z×√{p̂(1−p̂)÷n＋z²÷(4n²)}÷Dで求めます。

下端はc−h、上端はc＋hで、割合を百分率へ直すため最後に百を掛けます。nは正であることが必要です。式の中のp̂へ20を入れるのでなく、観測勝率二十％なら0.2を入れます。途中で何度も丸めず、表示するときに丸めてください。

中心cは通常、観測割合p̂そのものとは一致しません。そのため少数データの区間は、観測割合の左右へ同じ幅という形に見えない場合があります。出力された下端と上端だけでなく、x、n、方法と信頼水準を保存すると再計算できます。

架空例1：0勝十戦と0勝五十戦を比べる

同じ観測0％でも整合する範囲は違う

架空の一定ルールを独立で同じ勝率の試行とみなし、十戦0勝だったとします。両側九十五％のWilson法で、z＝1.96を使うと区間は約0〜27.8％です。観測値は0％ですが、少ない件数だけでは正の確率を幅広く残すことが分かります。

別の架空ルールが、同じモデルの下で五十戦0勝なら約0〜7.1％です。さらに百戦0勝なら約0〜3.7％になります。0という勝数が同じでも、観測数によって不確実性が変わります。十戦と五十戦を同じ0％という表示だけで比較しないようにします。

この比較から、五十戦0勝のルールは絶対に勝てないとは言えません。また異なるルールの能力差を証明した比較でもありません。各例の区間を計算して、記録の0％と推定の範囲を分けるための設計上の例です。実サービスの検証結果ではありません。

架空例2：二勝十戦と二十勝百戦の幅

別の二つの架空集計を考えます。一方は十戦二勝、もう一方は百戦二十勝です。どちらも観測勝率は20％ですが、同じ二項モデルと両側九十五％Wilson法の下では、区間の幅は異なります。

十戦二勝は約5.7〜51.0％、百戦二十勝は約13.3〜28.9％です。中心の観測値が同じでも、件数が多い方はこのモデルでの推定の幅が狭くなります。十戦二勝の二十％を、小数点以下まで表示しても観測量の少なさは消えません。

百戦の方も、その後の競走で二十％の確率が固定されたとは言えません。百戦が数年前の別条件に偏っていれば、現在への適用という問題が残ります。標本数による幅の違いと、対象が将来に対応しているかという二つの問いを分けます。

全勝の例も百％確実とは読まない

同じ式で十戦十勝を計算すると、約72.2〜100％です。観測した勝率は100％でも、モデル上の区間は一点へ潰れません。少数の全勝を根拠に、次の一回も確実に勝つと結論することはできません。

実際の競馬で全勝の集計を見つけたら、どの条件で選んだかも確認します。多数の条件を試してから、たまたま全勝だった小さな群だけを紹介している場合、通常の区間を付けたことで選択の影響が消えるわけではありません。

同じレースの結果を複数の条件へ重複掲載した場合も、別々の成功体験が増えたわけではありません。全勝という強い印象を持つ数字ほど、元の対象数と抽出方法を確認し、他の期間や新しい競走での観測を分けて追います。

両側と片側、Wilsonと厳密法を混ぜない

両側区間は下と上の両方の不確実性を扱い、片側の上限や下限とは設定が違います。同じ九十五％という数字でも、両側九十五％の上端と、片側九十五％の上限は同じとは限りません。

二項分布の厳密法とWilson法でも端点は異なります。例えば0勝十戦を別の計算法で調べた値がこの記事と一致しなくても、直ちにどちらかが計算ミスとは言えません。方法、信頼水準、片側か両側か、丸め方を先に照合します。

実績を比較する表では、同じ条件の方法へそろえるか、違いを明記します。都合の良い上端や下端だけを選ぶのではなく、事前に定めた方式で継続してください。より厳密という語も、前提から外れた現実のデータの問題まで解決する意味ではありません。

九十五％という信頼水準の意味を読む

信頼水準は、同じモデルの下で標本を取り、同じ手順で区間を作ることを繰り返すと、その一定割合が対象の真の確率を含むという手続に関する説明です。得られた一つの区間に真の値が九十五％の確率であると断言する読み方とは区別します。

また次の十戦の勝数が、その百分率の幅へ九十五％で収まるという意味でもありません。未知の確率の推定と、次の有限回の結果の予測は別です。一回の結果は勝ちか負けであり、十戦では偶然の揺れも加わります。

区間が広いときは、観測した割合を細かく確定できていないと読めます。狭いときも、抽出が偏っていたり、モデルが実際に合っていなかったりすれば、知りたい対象を正しく表したとは言えません。信頼水準だけを品質の点数にしないようにします。

出走ゼロと0勝は別の状態にする

対象条件に一度も出走していないならnが0です。この場合、勝率x÷nもWilson区間も計算できません。0勝十戦と同じ0％へ埋めると、観測がなかったことが分からなくなります。未出走または対象なしと表示します。

出走前の取消や除外を分母へどう入れるかも、予定件数と実際の出走件数を分けて定めます。発走して競走中止となった馬を、負けたという理由で都合よく消さないようにしてください。状態の定義を保存してから率を計算します。

欠測で着順が確認できていない場合も、未確認を勝ちや負けへ置き換えません。対象件数、確認済み出走、欠測とその理由を記録します。正確な式を使うことより先に、xとnが何を数えたものかを確認する必要があります。

同じレースの複数馬を独立に数えない

同じレースから三頭を選んだ場合、その三頭の勝敗には関係があります。通常の一着が一頭なら、ある馬が勝てば他の二頭は勝てません。延べ三出走を、互いに無関係な三レースのように式へ入れないでください。

勝馬を選択馬へ含めたかというレース単位の成否を調べる方法もありますが、それは一頭推奨の勝率とは別の指標です。三頭選ぶ方法と一頭だけ選ぶ方法を比べるなら、対象の問いと資金の違いも明示します。

同じ馬が繰り返し走る記録や、同じ日の馬場が共通する記録でも、独立性を無条件に仮定しません。どの単位の観測にどの関係があるかを確認し、単純な区間を参考として使う場合は、その限界を説明してください。

細かく分けた条件で高い率を探した場合

騎手、種牡馬、枠、馬場、月などを組み合わせて数多くの条件を試せば、小さな群で高い勝率が見つかることがあります。その群の区間を一つ示しても、多数の探索から選んだ影響が自動的に調整されるわけではありません。

条件を発見した期間と、その条件を固定して確かめる別の期間を分けます。試した条件や選び方を残し、評価用のデータを見てまた条件を変えた場合は、その変更も記録してください。探索で見つけた率を、未知の期間で実証した値と同じには扱いません。

一件でも勝てば検証を終了するなど、結果に応じた止め方にも注意します。通常の固定標本数の区間を、自由な途中停止へ無言で使うことは避けます。記録の確認と、有利な時点だけを採用する操作を分けることが大切です。

区間をオッズや次走の勝率へ直接置かない

過去の同条件の出走集団について得た区間を、次走の特定馬の勝つ確率とみなすことはできません。相手、距離、馬場、状態などが違い、集団の平均的な割合と個別の予測は別の問いです。

区間の下端と現在のオッズを掛け、利益が確実とする方法にも別の根拠が必要です。区間の前提、個別への適用、オッズの変動、購入額と返還を確認せずに結論を急がないでください。勝率の推定区間は収支の区間でもありません。

狭い区間でも利益の保証にはならないと覚えておくと、率の情報を過大評価しにくくなります。買うために区間を使うのでなく、分かっていることとまだ不確かなことを整理する材料として読みましょう。

少数データは件数と留保を同じ場所へ示す

読者に示すなら、対象条件と期間、勝数、出走数、観測勝率、区間の方法と水準を一緒に書きます。方法を注記の奥へ隠すより、表の見出しに両側九十五％Wilson法などと入れる方が比較条件を確認できます。

表は左右にスクロールできます。

独立・一定確率の二項モデル、z＝1.96で計算。実際の競馬データを検証した表ではありません。

件数と前提を添えて初めて区間を読める形になります。観測が足りなければ確定できないと伝え、購入を増やさず新しい対象の記録を蓄積してください。見送りや仮想検証も実購入と分けて保存すれば、少ないデータを無理に結論へ変える必要はありません。